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itemprop="name">天元术和四元术

亚搏娱乐网站,随着高次方程数值求解技术的发展,列方程的方法也相应产生,这就是所谓“开元术”。在传世的宋元数学着作中,首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。 李冶原名李治,号敬斋,金代真定栾城人,曾任钧州知事,1232年钧州被蒙古军所破,遂隐居治学,被元世祖忽必烈聘为翰林学士,仅一年,便辞官回家。1248年撰成《测圆海镜》,其主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似,“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一部数学着作《益古演段》,也是讲解开元术的。

李冶(1192-1279)是中国古代数学家,字仁卿,号敬斋,真定府栾城县人. 李冶生于大兴,父亲李通为大兴府推官.李冶自幼聪敏,喜爱读书,曾在元氏县求学,对数学和文学都很感兴趣.《元朝名臣事略》中说:"公幼读书,手不释卷,性颖悟,有成人之风."1230年,李冶在洛阳考中词赋科进士,任钧州知事,为官清廉、正直.1232年,钧州城被蒙古军队攻破.李冶不愿投降,只好换上平民服装,北渡黄河避难. 经过一段时间的颠沛流离之后,李冶定居于崞山之桐川.1234年初,金朝终于为蒙古所灭.金朝的灭亡给李冶生活带来不幸,但由于他不再为官,这在客观上使他的科学研究有了充分的时间.他在桐川的研究工作是多方面的,包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学.其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结,写成数学史上的不朽名著--《测圆海镜》.他的工作条件是十分艰苦的,不仅居室狭小,而且常常不得温饱,要为衣食而奔波.但他却以著书为乐,从不间断自己的写作.据《真定府志》记载,李冶"聚书环堵,人所不堪",但却"处之裕如也".他的学生焦养直说他:"虽饥寒不能自存,亦不恤也",在"流离顿挫"中"亦未尝一日废其业".经过多年的艰苦奋斗,李冶的《测圆海镜》终于在l248年完搞.它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作. 1251年,李冶的经济情况有所好转,他结束了在山西的避难生活,回元氏县封龙山定居,并收徒讲学.1257年在开平接受忽必烈召见,提出一些进步的政治建议.l259年在封龙山写成另一部数学著作-一《益古演段》.1265年应忽必烈之聘,去燕京担任翰林学士知制洁同修国史官职,因感到在翰林院思想不自由,第二年辞耿还乡.李冶是一位多才多艺的学者,除数学外,在文史等方面也深有造诣.他晚年完成的《敬斋古今注》与《泛说》是两部内容丰富的著作,是他积多年笔记而成的.《泛说》一书已失传,仅存数条于《敬斋古今注》附录.他还著有《文集》四十卷与《壁书丛制》十二卷,已佚.1279年,李冶病逝于元氏.李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术,使之成为中国独特的半符号代数.这种半符号代数的产生,要比欧洲早三百年左右.他的《测圆海镜》是天元术的代表作,而《益古演段》则是一本普及天元术的著作. 所谓天元术,就是一种用数学符号列方程的方法,"立天元一为某某"相当于今"设x为某某"是一致的.在中国,列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》,书中用文字叙述的方法建立了二次方程,但没有明确的未知数概念.到唐代,王孝通已经能列出三次方程,但仍是用文字叙述的,而且尚未掌握列方程的一般方法.经过北宋贾宪、刘益等人的工作,求高次方程正根的问题基本解决了.随着数学问题的日益复杂,迫切需要一种普遍的建立方程的方法,天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱.但直到李冶之前,天元术还是比较幼稚的,记号混乱、复杂,演算烦琐.例如李冶在东平得到的一本讲天元术的算书中,还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂,它"以十九字识其上下层,曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼."这就是说,以"人"字表示常数,人以上九字表示未知数的各正数次幂,入以下九字表示未知数的各负数次幂,其运算之繁可见一斑.从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看,天元术的作用还十分有限.李冶则在前人的基础上,将天元术改进成一种更简便而实用的方法.当时,北方出了不少算书,除《铃经》外,还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等,这无疑为李冶的数学研究提供了条件.特别值得一提的是,他在桐川得到了洞渊的一部算书,内有九客之说,专讲勾股容圆问题.此书对他启发甚大.为了能全面、深入地研究天元术,李冶把勾股容圆问题作为一个系统来研究.他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题,写成《测圆海镜》十二卷,这是他一生中的最大成就.《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式,即9种求直角三角形内切圆直径的方法,而且给出一批新的求圆径公式.卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系,共六百余条,每条可看作一个定理,这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结.后面各卷的习题,都可以在"识别杂记"的基础上以天元术为工具推导出来.李冶总结出一套简明实用的天元术程序,并给出化分式方程为整式方程的方法.他发明了负号和一套先进的小数记法,采用了从零到九的完整数码.除O以外的数码古已有之,是筹式的反映.但筹式中遇O空位,没有符号O.从现存古算书来看,李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书,它们成书的时间相差不过一年.《测圆海镜》重在列方程,对方程的解法涉及不多.但书中用天元术导出许多高次方程,给出的根全部准确无误,可见李冶是掌握高次方程数值解法的.《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟,它无疑是当时世界上第一流的数学著作.但由于内容较深,粗知数学的人看不懂.而且当时数学不受重视,所以天元术的传播速度较慢.李冶清楚地看到这一点,他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具,同时深刻认识到普及天元术的必要性.他在结束避难生活、回元氏县定居以后,许多人跟他学数学,促使他写一本深入浅出、便于教学的书, 《益古演段》便是在这种情况下写成的.《测困海镜》的研究对象是离生活较远而自成系统的圆城图式,《益古演段》则把天元术用于解决实际问题,研究对象是日常所见的方、圆面积.李冶大概认识到,天元术是从几何中产生的.因此,为了使人们理解天元术,就需回顾它与几何的关系,给代数以几何解释,而对二次方程进行几何解释是最方便的,于是便选择了以二次方程为主要内容的《益古集》.正如《四库全书·益古演段提要》所说:"此法虽为诸法之根,然神明变化,不可端倪,学者骤欲通之,茫无门径之可入.惟因方圆幂积以明之,其理尤届易见."李冶是很乐于作这种普及工作的,他在序言中说:"使粗知十百者,便得入室啖其文,顾不快哉!"《益古演段》的价值不仅在于普及天元术,理论上也有创新首先,李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数,化多元问题为一元问题.其次,李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法,以简化运算. 李冶作为一个有成就的数学家,在治学态度方面,具有与古往今来的科学家所共有的精神,也有其独特之点: 1.在极端艰苦的条件下坚持科学研究,从不间断自己的工作。李冶处在一个动荡不定的时代,特别是弃官隐居以后,从事科学研究的环境是十分艰苦的,常常饥寒至不能自存,但仍处之泰然,以讲学著书为乐。对于数学研究,他也是下过苦功的,他在病危时对其子克修说:“测圆海镜一书,虽九九小数,五常精思致力焉,后世必有知者”。 2.坚持科学真理,不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的,李冶的工作很少得到当时学者的理解。《测圆海镜》和《益古演段》两书,是在他逝世后三十年才得以付印的。 3.善于接受前人知识,取其精华。有人问学于李冶,李冶回答说:“学有三:积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深”。这就是说,要去其糟粕,取其精华,并使它成为自己的东西. 4.反对文章的深奥化和庸俗化,主张文章是为别人,而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说:“今之算者,未必有刘之工,而编心踞见,不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭,唯恐学者得窥其仿佛也。”他的《益古演段》就是这种主张下的著作。

在古代数学中,列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。宋代以前,数学家要列出一个方程,如唐代王孝通运用几何方法列三次方程,往往需要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明,这是一件相当困难的工作。随着宋代创立的增乘开方法的发展,解方程有了完善的方法,这就直接促进了对于列方程方法的研究,于是,又出现了中国数学的又一项杰出创造——天元术。据史籍记载,金、元之际已有一批有关天元术的着作,如蒋周《益古》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等,可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的着作中,都对天元术作了清楚的阐述。李冶,原名李治,字仁卿,号敬斋,真定栾城。曾为金代词赋科进士,钧州知州,元翰林学士知制诰同修国史。晚年隐居于河北元氏县封龙山下,收徒讲学并勤于着述,与元好问、张德辉交往密切,时人尊称“龙山三老”。他在数学专着《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则,以及文字符号表示法等,使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。李冶还着有《敬斋古今黈》40卷、《敬斋文集》40卷、《壁书丛削》12卷、《泛说》40卷等,前一种今有辑本12卷,后三种已失传。朱世杰,字汉卿,号松庭,生平不详。据《四元玉鉴》莫若序称:“燕山松庭朱先生,以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众,先生遂发明《九章》之妙,以淑后学。为书三卷..名曰《四元玉鉴》”,由此可见,朱世杰当时已是声名卓着的数学家和教育家。所着《算学启蒙》3卷,内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等,是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本,产生了一定的影响。这部书,清代刻印所依据的是朝鲜翻刻本。朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法,以及他在高阶等差级数求和等方面的重要成就。美国科学史家乔治·萨顿在他的名着《科学史导论》中指出:《四元玉鉴》是“中国数学着作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学着作之一”。除李冶、朱世杰外,赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。 天元术是利用未知数列方程的一般方法,与现在代数学中列方程的方法基本一致,但写法不同。它首先要“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后,通过类似合并同类项的过程,得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致,按照李冶的记法,方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式:其中a0,a1,.,an表示方程各项系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂。方程列出后,再按增乘开方法求正实根。天元术的出现,提供了列方程的统一方法,其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲,只是到了十六世纪才做到这一点。此外,宋代创立的增乘开方法又简化了求解数字高次方程正根的运算过程。因此,在这一时期,列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式,中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此,继天元术之后,数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组,如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元,刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等,最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。朱世杰在《四元玉鉴》中用天、地、人、物代表四个未知数,然后根据已知条件推导出四元高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项系数摆成一个方阵,其中常数项右侧仍记一“太”字,四个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右,高次项系数则按幂次逐一向外扩展,各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时,要运用消元法,经过方程变换,逐步化成一个一元高次方程,再用增乘开方法求出正根。在欧洲,直到十八世纪法国数学家贝佐才对多元高次方程组的消元法作了系统的研究。另一方面,从E’.Bzout从四元术的表示法来看,这种方阵形式不仅运算繁难,而且难以表示含有四个以上未知数的方程组,带有很大的局限性。因此,中国代数学在这一时期确实发展到了顶峰,如果要再前进一步,那就需要另辟蹊径,突破新的难关了。后来,清代的代数学的进展是通过汪莱、李锐等对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。

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